1. definition of a set
definition of a set
"자연과학의 기초언어가 수학이라면
수학의 기초언어는 집합입니다"
" If math is the language of science,
then set theory is
the language of math "
the language of math "
최근 중학 교과개정에서 ‘집합 (set theory)’ 단원이 빠졌지만, 수학공부에 기초가 되는 중요한 개념이기 때문에, 표준 교과과정과 관계없이 기본적인 개념과 표현방법 및 기호는 반드시 알아두어야 합니다.
특히, 학생들이 비교적 어려워하는 아래의 단원들에서 합집합 과 교집합 (또는 공통집합) 의 개념이 반드시 필요합니다.
(a) 연립방정식과 연립부등식
systems of equations and inequalities
systems of equations and inequalities
(b) 절대값이 들어간 방정식과 부등식
equations and inequalities with absolute values
equations and inequalities with absolute values
(c) 그래프를 이용한 최대값과 최소값
finding minimum & maximum values using graphs
finding minimum & maximum values using graphs
(d) 경우의 수와 순열, 조합 및 확률
counting outcomes, permutations, combinations & probabilities
counting outcomes, permutations, combinations & probabilities
중 1 처음 시작부터, 최소한의 기본 개념과 집합기호는 벤 다이어그림 (Venn diagram) 등의 시각적 응용력과 함께, 반드시 익혀 두도록 하기 바랍니다.
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아래 그림에서 빨간색의 타원으로 표시된, 점 a, b, c 로 이루어진 A 라는 모음을 가리킬 때, A = { a, b, c } 라 표현하고, a, b, c 들을 각각 원소 (element), 이들의 모음인 A 를 집합 (set) 이라고 합니다.
As shown below, the red shaded region A consists of a, b and c, is called a set, denoted by A = { a, b, c } and each member of { a, b, c } is called its element.
이 때, '원소 a 는 집합 A 에 속한다' 고 표현하고, 기호로는 a ∈ A 와 같이, '원소 d 는 집합 A 에 속하지 않는다' 라고 표현하고, 기호로는 d \( \notin \) A 와 같이 나타냅니다.
In this example, ' a ' is an element of A, denoted by a ∈ A and for instance, ' d ' is not an element of A, denoted d \( \notin \) A.
위 그림에서 노란색으로 표시된, 집합 B = { a, b, c, d } 라고 한다면, A 는 B 에 포함되니까, '집합 A 는 집합 B 의 부분집합 (subset)' 또는 '집합 A 는 집합 B 에 포함된다' 라고 표현하고 A ⊂ B 의 기호를 사용합니다.
If we assume the set B = { a, b, c, d }, which is shown as the yellow shaded region, then every element of A is also an element of B. In this case, we say 'A is a subset of B' or 'A is included in B', denoted A ⊂ B.
일반적으로, 부분집합이라는 표현은 B ⊂ B 와 같이 같은 집합일 때도 적용됩니다. 위의 예에서 집합 A 는 B 에 포함되는 작은 집합이니까, 특별히 집합 B 의 진부분집합이라고 부르고 A ⊊ B 라는 기호를 사용합니다.
In general, we can use the word 'subset' for the same set - B ⊂ B. Therefore, if A is a subset of B but not equal to B, then A is a proper subset of B and is written as A ⊊ B.
[ B ] 집합의 원소
앞에서 예를 들었던 집합 A , B 에 대해서, 원소의 개수 (number of elements) 를 나타낼 때는 기호를 써서, n (A) = 3, n (B) = 4 와 같이 표현합니다.
앞에서 예를 들었던 집합 A , B 에 대해서, 원소의 개수 (number of elements) 를 나타낼 때는 기호를 써서, n (A) = 3, n (B) = 4 와 같이 표현합니다.
집합 사이의 관계를 시각적으로 잘 보여 주는, 벤 다이어그램 (Venn diagram) 을 사용해서 조금 더 구체적으로 알아 볼까요?
위의 그림과 같이, 파란색으로 표시된 집합 C = { b, c, e, f } 가 있을 때,
If we add the blue colored shaded area as the set C = { b, c, e, f } as shown above :
(1) 합집합 A∪C 는 집합 A 에 속하거나 또는 집합 C 에 속하는 원소들의 집합으로 A∪C = { a, b, c, e, f } 이고, 수학적 개념으로는 덧셈 ( + ) 의 뜻도 가지고 있습니다.
The union of the sets A and C is the set of all elements of A or C, which is A∪C = { a, b, c, e, f }. This also has a logical meaning of addition ( + ).
(2) 교집합 A∩C 는 집합 A 에 속하고 그리고 동시에 집합 C 에 속하는 원소들의 집합으로 A∩C = { b, c } 를 말하며, 수학적 개념으로는 곱셈 ( x ) 의 뜻으로도 사용됩니다.
(2) 교집합 A∩C 는 집합 A 에 속하고 그리고 동시에 집합 C 에 속하는 원소들의 집합으로 A∩C = { b, c } 를 말하며, 수학적 개념으로는 곱셈 ( x ) 의 뜻으로도 사용됩니다.
The intersection of the sets A and C is the set of elements of both A and C, which is A∩C = { b, c }. This has a logical meaning of multiplication ( x ).
(3) 전체집합 U 는 위 그림에서 갈색의 직사각형으로 나타낸, 모든 원소를 전부 포함하는 집합을 말합니다.
The universal set U, a brown rectangular area, is a collection of all elements as shown above.
(4) 여집합 \({A^C}\) 는 전체집합 U 에는 속하지만, A 에는 속하지 않는 원소들의 집합으로 \({A^C}\) = { d, e, f, g, h } 가 됩니다.
The (absolute) complement of set A is the set of all elements that are not elements of A, denoted by \({A^C}\) = { d, e, f, g, h }.
(5) 차집합 A – C 는 집합 A 에는 속하지만 C 에는 속하지 않는 원소들의 집합으로 A – C = { a } 를 말합니다. 마치 뺄셈을 한 것과 같지요?
The relative complement of set C in A is the set of all elements of A that are not elements of C, which is A – C = { a }. It looks like a subtraction.
(3) 전체집합 U 는 위 그림에서 갈색의 직사각형으로 나타낸, 모든 원소를 전부 포함하는 집합을 말합니다.
The universal set U, a brown rectangular area, is a collection of all elements as shown above.
(4) 여집합 \({A^C}\) 는 전체집합 U 에는 속하지만, A 에는 속하지 않는 원소들의 집합으로 \({A^C}\) = { d, e, f, g, h } 가 됩니다.
The (absolute) complement of set A is the set of all elements that are not elements of A, denoted by \({A^C}\) = { d, e, f, g, h }.
(5) 차집합 A – C 는 집합 A 에는 속하지만 C 에는 속하지 않는 원소들의 집합으로 A – C = { a } 를 말합니다. 마치 뺄셈을 한 것과 같지요?
The relative complement of set C in A is the set of all elements of A that are not elements of C, which is A – C = { a }. It looks like a subtraction.
반대로, 차집합 C – A 는 집합 C 에는 속하지만, A 에는 속하지 않는 원소들의 집합으로 C – A = { e, f } 를 말합니다.
On the contrary, the relative complement of set A in C is the set of all elements of C that are not elements of A, denoted by C – A = { e, f }.
또, 차집합은 여집합 기호를 사용해서, A – B = A∩\({B^C}\) 로 정의하기도 합니다.
또, 차집합은 여집합 기호를 사용해서, A – B = A∩\({B^C}\) 로 정의하기도 합니다.
In addition, the relative complement of set C in A is also defined by A∩\({B^C}\).
집합의 기본적인 개념과 정의 및 기호들은, 반드시 복습하면서, 핵심 내용을 깔끔하게 정리해 두기 바랍니다. 배운 것을 스스로 복습하면서 요점을 정리해 나갈 때, 수학실력은 쑥쑥 자라나게 됩니다.
어려운 심화수준의 수학공부도, 기초 단계에서는 정의나 기초공식들 그리고 기본 정리들을 반드시 외워 두어야 합니다.
아무리 창의적이거나 혹은 심화 수준의 공부라 하더라도 기초단계에서는 기본용어나 정리를 외우고, 그 바탕 위에서 분석력이나 종합적 사고력을 키워 나가는 것입니다.
여집합의 개념을 활용하는 문제의 예를 볼까요?
아무리 창의적이거나 혹은 심화 수준의 공부라 하더라도 기초단계에서는 기본용어나 정리를 외우고, 그 바탕 위에서 분석력이나 종합적 사고력을 키워 나가는 것입니다.
여집합의 개념을 활용하는 문제의 예를 볼까요?
1000 미만의 자연수 중에서, 13 의 배수가 아닌 것의 개수를 구하여라.
How many positive integers less than 1000 are not multiples of 13?
(1) 13의 배수가 아닌 것을 그냥 세는 것은 너무 심하지요? 그렇게 세고 있는 학생들에겐 문제에서 '1000 미만'을 '10억 미만'으로 바꿉니다 ^^
Is it too naive if you just count on and on ...?
Is it too naive if you just count on and on ...?
(2) 경우의 수가 규칙성도 없고, 너무 많으니까…, 앞에서 배운 여집합의 개념을 활용해서, 반대의 방법으로 구하는 건 어떨까요?
What about using the concept of absolute complement of a set instead?
(3) 어떤 경우들이 있는지를 따져 보다가, 그 경우의 수가 너무 많거나 규칙이 보이지 않을 때, 반대로 생각해서 해결하는 것이 여사건 또는 여집합의 방법입니다.
(4) 전체에서 13 의 배수의 개수만 빼주면 되겠지요?
999 – (13 의 배수의 개수)
= 999 – 76
= 923
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