1. factors and multiples

약수와 배수

factors and multiples

"소수를 알면

숫자가 쉽게 보여요"

" having learned prime factors,

any integer looks easy "

정수범위 내에서, 소수 (prime number) 는 더 이상 나누어 지지 않는 기초단위라서, 숫자를 이해하는 데 아주 편리합니다.

정수를 소수들의 곱으로 분해해 보면, 숫자들 사이에 공통적인 요소를 쉽게 알아낼 수 있어, 공약수나 공배수를 찾아 내서 영리한 계산을 하는 데에도 큰 도움이 되지요.

2 나 3 과 같은 소인수를 문자라고 간주하면, 숫자도 문자들의 곱으로 이루어진 식으로 생각하고 처리할 수 있어서, 일반적인 원리나 공식을 유도해 내거나 응용력을 향상시킬 수 있습니다.

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예를 들어 14 를 3 으로 나누면 몫이 4 이고 나머지가 2 라고 할 때, 초등 산수에서는 14 ÷ 3 = 4 ⋯ 2 와 같은 표현을 쓰지만, 중학수학부터는 반드시 14 = 3 x 4 + 2 라는 하나의 식으로 나타낼 줄 알아야 합니다.

이 내용을 문자로 일반화시켜 볼까요?

문자나 수학기호만 나오면 멀미(^^)가 난다구요?

처음에는 어렵겠지만, 조금씩 익숙해지면, ‘어쩌면 이렇게 간단하면서도 논리적으로 정교한 언어가 만들어 졌을까’ 하고 경탄하게 될 겁니다. 진정한 수학의 재미는 기호와 문자를 이용한 일반화에 있으니까요.

위에서 예를 들었던 나눗셈을 문자로 일반화시킨다면, 'A 를 0 이 아닌 B 로 나누면, 몫이 Q (quotient) 이고, 나머지가 R (remainder) 이다' 라고 하고, 식으로는 A = B x Q + R 로 나타낼 수 있습니다. 

When we divide A by non-zero B, there exist unique Q and R such that A = B x Q + R, where 0 ≤ R < |B|, and A is called 'dividend' or 'numerator', whereas B is called 'divisor' or 'denominator'.

이번에는 나누어 떨어지는 경우를 생각해 볼까요?

나누어 떨어진다면, 나머지가 없으니까, 즉, 문자로 나타내면 R = 0 이니까, 식으로는 A = B x Q 라고 표현할 수 있겠지요?

이렇게 나머지가 없이 나누어 떨어질 때, A 는 B 와 Q 의 곱이니까, A 는 B 또는Q 의 배수라고 합니다. 또, B 와 Q 는 A 의 약수 또는 인수라고 합니다. 

If R = 0, then A = B x Q. When this holds, A is the 'multiple' of B or Q, whereas B and Q are 'factors' of A.

특히, 중학 수학부터는 A, B, Q 가 모두 정수인 경우로 확장되기 때문에, 예를 들자면, 6 = 2 x 3 = 1 x 6 = (– 2) x (– 3) = (– 1) x (– 6) 이 성립하니까, 1, 2, 3, 6, – 1, – 2, – 3, – 6 은 모두 6 의 약수가 됩니다.

또 예를 든다면, – 3 = 1 x (– 3) = 3 x (– 1) 이 성립하니까, 1, 3, – 1, – 3, 은 모두 – 3 의 약수가 되지요. 

In general, A, B and Q are integers and therefore, 1, 2, 3, 6, – 1, – 2, – 3, – 6 are all 'factors' of 6 as shown in the examples above.

또, 예를 들어, A = 2Q 라고 표현하면 A가 2 의 배수 즉, 짝수라는 것을 나타내고, A = 2Q – 1 인 경우는 홀수를 나타내는 것입니다.

마찬가지로, 중학 수학부터는 A, Q 가 모두 정수인 경우로 확장되니까, Q 가 0 이거나 음수(–) 인 경우도 포함되므로, 2, 4, 6 ⋯ 만이 아니라, 0, – 2, – 4, – 6 ⋯ 도 짝수라는 점에 주의해야 합니다. 

Expression 'A = 2Q' means A is 'even' number, whereas 'A = 2Q – 1' means A is 'odd' number. In general, A and Q are integers and therefore, 0, – 2, – 4, – 6 ⋯ are also even numbers as well as 2, 4, 6 ⋯ .

'소수' 는 1 과 자기자신 이외에는 약수를 갖지 않는, 1 보다 큰 자연수(* 정수가 아니라는 점에 주의) 를 말합니다. 이 소수들은 '합성수' 를 분해해서 보거나, 두 개 이상의 합성수들 사이에서 공통되는 인수를 알아내는 데 아주 유용합니다. 

Prime number is a positive integer greater than 1, that has no factor other than 1. Prime numbers are very useful to find common factors between 'composite' numbers.

'합성수' 는 '1 과 자기자신 이외에, 적어도 하나 이상의 다른 양(+) 의 약수를 갖는, 1 보다 큰 자연수' 라고 정의하니까, '1 보다 큰 자연수 중에서 소수가 아닌 수' 라고 말하기도 합니다. 

A composite number is a positive integer that has at least one positive factor other than 1 and the number itself. In other words, a composite number is any positive integer, greater than 1, that is not a prime number.

따라서 자연수는 '1' 과 '소수들' 과 '합성수들' 의 3 가지로만 이루어져 있다고 할 수 있겠지요? 

Therefore, positive integers consist of 1, prime numbers and composite numbers.

예를 들어, 90 과 132 는 어떤 공통점을 가지고 있을까요?

90 과 132 를 소수로 분해해 보면 되겠지요? 소인수로 분해하면, 서로 2 와 3 이라는 공통점 즉, 이라는 공통인수(공약수)를 가집니다. 

If we factorize 90 and 132 into the product of primes, then it's easy to find that these two numbers have prime numbers 2 and 3 in common, that is, common factors (divisors).

90 = 2 x 3 x 3 x 5 = 2 x 3² x 5

132 = 2 x 2 x 3 x 11 = 2² x 3 x 11

여기서, (1) 교집합의 개념을 이용해서, 90 그리고 (∩) 132 가 동시에 갖고 있는 약수 중에서 가장 큰 것인, 2 x 3 = 6 을 최대공약수(G),

The greatest common factor, denoted by G (90, 132) = 6, is the largest positive integer that divides both 90 and (∩) 132.

(2) 합집합의 개념을 이용해, 90 또는 (∪) 132 를 포함할 수 있는 배수 중에서 가장 작은 것인 2² x 3² x 5 x 11 = 1980 을 최소공배수(L) 이라고 하고, 기호로는 G (90, 132) = 6 과 L (90,132) = 1980 와 같이 사용합니다. 

On the other hand, the least common multiple, denoted by L (90, 132) = 1980, is the smallest positive integer that is divisible by both 90 or (∪) 132.

모든 정수를 이렇게 소수로 분해 (소인수분해) 하고 나면, 여러 개의 수 사이의 공약수나 공배수를 찾기가 쉬워서, 공통인수로 약분을 하거나 분배법칙으로 묶어서 계산할 때, 아주 편리합니다. 

After the prime factorization of integers, it's easy to find common factors or multiples and therefore, it's very convenient to simplify or to combine common factors in complicated calculations.

예를 들어 계산문제를 한 번 볼까요? 

This example shows how to compute by prime factorization.

132 ÷ 18 x 5 – 90 x 11 ÷ 36

= \(\frac{{2 \times 2 \times 3 \times 5 \times 11}}{{2 \times 3 \times 3}}\) – \(\frac{{2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 11}}{{2 \times 2 \times 3 \times 3}}\)

= \(\frac{{2 \times 5 \times 11}}{{3}}\) – \(\frac{{5 \times 11}}{{2}}\)

= 5 x 11 x (\(\frac{{2}}{{3}}\) – \(\frac{{1}}{2}\))

= 5 x 11 x \(\frac{{1}}{6}\)

= \(\frac{{55}}{6}\)