1. linear equations
일차방정식
linear equations
"이항해서 x 를 구한다는 게
등식의 원리를 이용하는
것이었군요"
" finding x
by moving to other side
is based on
the properties of equality "
초등과정까지는 간단한 자연수의 답을 구하는 문제들이 대부분이라, 영리하지만 수학적 개념이 부족한 학생 중에는, 미리 예상 가능한 자연수 몇 개만 암산으로 슬쩍 대입해서 구해 버리는 경우가 종종 있습니다.
그러나, 중학수학부터는 문자를 사용해 일반화해 나가는 진정한 수학이 시작되기 때문에, 기본개념과 원리를 제대로 익혀 두어야, 심화 고등수학까지 어려움 없이 스스로 공부해 나갈 수 있습니다.
응용력이 생길 때까지는, 숫자로 된 간단한 일차방정식이라도 등식의 원리를 따져 보면서 풀고, 실생활 응용 유형의 문장을 방정식으로 표현하는 연습을 꾸준히 해 두기 바랍니다.
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기차표 4 장을 샀더니, 3 만원을 할인해 주어서 모두 17 만원을 지불했을 때, 표 1 장당 원래 가격은 얼마이었는지를 구하려면, 기차표 1 장당 가격을 x 만원이라고 놓고, 아래와 같이 식을 세울 수 있습니다.
When we bought 4 train tickets, they gave us 3 man-won discount and therefore, we paid 17 man-won, what is the original ticket price? This can be translated into the following equation :
4x – 3 = 17
이 때, 이 x 를 변수라 부르고, x 의 최고차항이 1 차이니까, 일차방정식이라고 합니다.
This equation has the highest power of 1 in terms of the variable x, and is called a 'linear' equation.
이제, 이 일차방정식을 풀려면, (a) 양변에 3 을 똑같이 더해 준 다음, (b) 양변을 똑같이 4 로 나누어 주면 되겠지요?
Now, in order to solve this equation, we (a) add both sides the same value 3 and (b) divide both sides by 4.
(a) 4x – 3 + 3 = 17 + 3 ∴ 4x = 20
(b) 4x ÷ 4 = 20 ÷ 4 ∴ x = 5
따라서, 답은 5 만원. 이렇게 풀어 낼 수 있는 원리는, 양변을 똑같은 수로 더하고 빼거나, 곱하거나 나누어도 원래의 등식은 변하지 않는 않는다는 등식의 원리를 이용한 것입니다.
In the process of finding the answer, 'subtraction' and 'division' properties of equality have been used.
여기서, 등식의 성질 (properties of equality) 을 한 번 정리해 두도록 할까요?
실수 a, b, c 에 대하여, a = b 라는 등식이 성립할 때,
(1) a + c = b + c ☞ (addition property)
(2) a – c = b – c ☞ (subtraction property)
(3) a x c = b x c ☞ (multiplication property)
(4) a ÷ c = b ÷ c if c ≠ 0 ☞ (division
property)
일차방정식 5x – 2 = 2x + 7 을 푸는 과정에서 한 변에 x 항들을, 다른 변에는 숫자인 상수항들을 모아 주고 답을 구할 때, 어떤 원리들이 사용되었는지 다시 한번 단계별로 살펴보도록 하지요.
When we simplify the equation, we are using the properties of equality. In the followings, you can find underlying properties and principles in each step.
5x – 2 – 2x = 2x + 7 – 2x subtract 2x from each side
3x – 2 = 7 simplify
3x – 2 + 2 = 7 + 2 add 2 to each side
3x = 9 simplify
3x ÷ 3 = 9 ÷ 3 divide both sides by 3
∴ x = 3
3x – 2 = 7 simplify
3x – 2 + 2 = 7 + 2 add 2 to each side
3x = 9 simplify
3x ÷ 3 = 9 ÷ 3 divide both sides by 3
∴ x = 3
그러면, 계산문제를 하나 풀어 보도록 할까요?
Solve the following equation :
(4x – 1) ÷ 2 – 2{3x – (1 – 2x)} ÷ 3 = 1.5 – x
(1) 분수나 소수의 계수들이 있는 경우에는 우선, 분모의 최소공배수를 곱해 주어야 하겠지요? 등식의 성질에 따라, 6 을 양변에 곱해 주고 정리하면,
First of all, multiply both sides by 6 - the least common multiple of denominators, by multiplication property of equality.
3(4x – 1) – 4{3x – (1 – 2x)} = 9 – 6x
– 3 + 4 – 8x = 9 – 6x
(2) 이제, 등식의 원리를 이용해서, 양변에 8x 를 더해 주고 9 를 빼주면,
Now, we simplify the equation, by the properties of equality as follows :
1 – 8x + 8x = 9 – 6x + 8x add 8x to both sides
1 = 9 + 2x simplify
1 – 9 = 9 + 2x – 9 subtract 9 from each side
– 8 = 2x simplify
– 8 ÷ 2 = 2x ÷ 2 divide both sides by 2
∴ x = – 4
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