2. infinite decimals & irrational numbers

무한소수와 무리수

infinite decimals & irrational numbers

"집합을 알면

반례 찾기가 쉬워져요"

" understanding the truth set makes it easier

to find counter example "

앞에서 설명한 [순환하는 무한소수] 와 관련하여 무한소수는 유리수인지 혹은 무리수인지를 혼동하는 중학생들이 의외로 많아, 보충설명의 성격으로 추가설명을 하고자 합니다.

과거의 중학생들에 비해, 이 내용과 관련된 진위형 문제에서 많은 오답이 나오는 것을 보면, 아마도 기본적인 집합과 명제의 개념을 배우지 못하는 개정표준교과의 영향인 것으로 보입니다.

표준교과 외의 내용이기는 하나, 기초적인 집합과 명제의 개념은 상위 수준의 수학을 공부하는데 반드시 필요한 기본 개념이니까, 정확한 기초 개념과 원리를 이해해 두기 바랍니다.

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[ A ] 명제와 진리집합


질문에 대답하기 전에 먼저 공부해 두어야 하는 것이니까, 우선, 가장 흔한 예인 ‘사람은 동물이다’ 라는 문장을 가지고 [명제] 와 [진리집합] 에 관하여 알아 보도록 할까요?

Before answering the question directly, let's study [truth set] first, with the sample statement - 'human beings are animals'

위의 예와 같이 참과 거짓을 객관적으로 판별할 수 있는 문장을 [명제] 라고 하고, 소문자를 써서 p → q 와 같이 화살표 기호로 표현합니다.

[(Mathematical) statement] is a meaningful composition of words that can be considered either 'true' or 'false'. In general, the statement has ' if p holds, then q ' form, and we write ' p → q ' and read 'if p, then q' or simply 'p implies q'.

이 때, 위에서 예를 든 문장으로 본다면, p 에 해당하는 ‘사람은 (또는 사람이면)’ 부분을 [가정] 이라 하고, q 에 해당하는 ‘동물이다’ 부분을 [결론] 이라고 합니다.

In the sample statement - 'human beings are animals', '(if they are) human beings' corresponding to 'p' is called a [hypotheses] and '(then) animals' corresponding to 'q' is called a [conclusion].

또, [가정] 또는 [결론] 부분의 모든 원소의 집합을 [진리집합] 이라고 부르며, 각각 P, Q 의 대문자로 표현합니다.

A [truth set], denoted by capital letter P or Q, is a set containing all the elements that make p or q true, respectively.

참과 거짓을 판별한다면, 예로 든 명제, ‘사람은 동물이다’ 는 참이지요? 이 원리를 진리집합인 P = {x | x 는 사람} 과 Q = {y | y 는 동물} 간의 집합의 관계로 살펴 볼까요?

The statement, 'human beings are animals' is true. Then, let's investigate more in detail, with the relationship between truth sets P = {x | x is a human being} and Q = {y | y is an animal}.

위의 벤다이어 그램에서 보는 것과 같이, 보라색 원의 모양인 집합 P = {x | x 는 사람} 가 분홍색과 보라색 전체인 타원 모양의 집합 Q = {y | y 는 동물} 의 내부에 포함되어 있는 진부분 집합이지요?

In the Venn diagram, as shown above, the truth set, violet shaded circle, P = {x | x is a human being} is included in the truth set Q = {y | y is an animal}, which is shaded large ellipse with pink and violet.

즉, P ⊂ Q 이니까, 집합P 의 원소가 되는 어떤 사람이라도, 집합 Q 의 원소인 동물이 된다는 것은 참이 됩니다.

Therefore, we can conclude that the statement is true because P ⊂ Q.

그렇다면, 원래 명제의 가정과 결론을 바꾸어 놓은 [역] q → p 는 참이 될까요?

Then, can we determine that [converse] q → p (of the statement) is also true?

위의 벤다이어 그램에서 보면, P ⊂ Q 이고, 차집합 Q – P 부분인 분홍색 부분에 있는 동물은 [인간이 아닌 동물] 이니까, 참이 될 수 없다는 반례가 되는 것이지요. 따라서, [역] q → p 는 거짓이 됩니다.

In the Venn diagram, as shown above, the difference set Q – P, the region shaded in light pink, denotes the animals that are not human beings, which are called as [counter examples]. Therefore, we can conclude that the [converse] is false.

이렇게, 벤다이어 그램에서 진리집합의 포함관계를 살펴보면, 판단하기가 어려운 명제의 참과 거짓을 쉽게 알아낼 수 있습니다.

As we see in the example above, investigating the relationship between two truth sets makes it much easier to determine whether the given statement is true or not.

하나만 더, 간단한 예를 들어 본다면, “음(–) 이 아닌 정수는 자연수이다” 라는 명제는 참일까요?

Let's try one more simple statement, saying 'non-negative integers are natural numbers'. Will this be true?

음(–) 이 아닌 정수의 진리집합을 P = {0, 1, 2, 3, ⋯ } 그리고 자연수의 진리집합을 Q = {1, 2, 3, ⋯ } 라 놓고, 집합의 포함관계를 보면, P ⊃ Q 이니까, 위의 명제는 거짓이라는 것을 알 수가 있습니다. 이 때, 차집합 P – Q 의 원소인 ' 0 ' 이 그 반례가 되는 것이지요.

If we investigate the relationship between the truth sets of 'non-negative integers' P = {0, 1, 2, 3, ⋯ } and 'natural numbers' Q = {1, 2, 3, ⋯ }, then we can conclude that this statement is false because P ⊃ Q. In this case, the element ' 0 ' is the counter example.

[ B ] 무한소수와 무리수의 집합관계

자, 이제 그러면, 처음 질문에 대답하기 위해서, 무한소수와 무리수의 집합 관계를 살펴 볼까요?

Now, in order to answer the first question, let's investigate the relationship among the number sets specified on the following table.

유 리 수 (Q) rational numbers	유한소수(A) finite decimals	0.125 = \(\frac{1}{8}\)	유한소수(F) finite decimals
	순환하는 무한소수(B) infinite repeating decimals	0.1333⋯ = \(\frac{2}{{15}}\)	무한소수(R) infinite decimals
무 리 수 (I) irrational numbers	순환하지 않는 무한소수(C) infinite non-repeating decimals	3.1415⋯ = π

(1) 무한소수는 순환하는 소수와 순환하지 않는 소수로 이루어져 있으니까, R = B∪C 가 성립합니다.

Infinite decimals consist of repeating and non-repeating decimals and therefore, R = B∪C.

(2) 또, 위의 표에서 보면, 유한소수나 순환하는 무한소수는 유리수이니까, A ⊂ Q, B ⊂ Q 그리고 (A∪B) ⊂ Q 가 되는 것을 알 수 있습니다.

As shown in the table above, finite decimals and infinite repeating decimals are rational numbers and therefore, A ⊂ Q, B ⊂ Q and (A∪B) ⊂ Q.

그러면, 최초의 질문이었던, 명제 “무한소수는 무리수이다”는 참일까요?

Then, can we conclude that 'infinite decimals are irrational numbers' ?

위에서 배운 기호로 표현하자면, 명제 r → i 의 진위 여부를 판단하는 것이니까, 이 명제가 참이 되기 위하여는, 진리집합 기호로는, R ⊂ I 이 성립해야 되겠지요?

This question means whether ' r → i ' is true or not, and accordingly, the truth sets relationship should be R ⊂ I, if it is true.

그런데, 무한소수 중에서 [순환하는 무한소수]는 유리수이니까, 집합 B 는 위의 명제를 거짓으로 판별할 수 있는 증거인 반례가 됩니다. 즉, 위의 명제는 거짓입니다.

As we see on the table above, R ⊂ I cannot be true because 'infinite repeating decimals' in set B are the counter examples. Therefore, we can assert that the statement is false.

이와 같은 방법으로, 집합의 포함관계를 나타내는 벤다이어 그램을 활용해서, 진위문제 유형들을 정복해 나가기 바랍니다.

This method of investigating relationships between the truth sets is very useful and powerful tool for judging whether the given statement is true or false.