2. linear function (y = a x + b)

일차함수 y = a x + b

slope-intercept form : y = ax + b

"y 절편을 찍은 다음,

기울기 그리기 방법대로 하면 되요"

" plot y-intercept first,

and rise over run "

일차함수의 그래프는, 일차 비례식을 좌표평면에 나타내는 가장 기초적인 내용부터, 중학과정에서는 포물선과 직선 그리고 고등과정에서는 다항함수의 곡선과 직선의 관계까지 다양하게 응용되는 단원입니다.

문과 고등학생 중에는 직선의 그래프도 제대로 못 그려서 쩔쩔매는 모습을 자주 봅니다. 수학실력의 차이는, 함수와 그래프에서 비롯된다고 할 정도로 중요하니, 기초부터 확실하게 다져 두기 바랍니다.

다시 강조하지만, 문과라 하더라도 고등과정의 다항함수의 미적분까지 중고등 수학 전반에서 활용되는 매우 중요한 개념입니다.

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y = 2x 의 그래프는 기울기가 2 이고 원점을 지나는 직선이라고 배웠던 것을 잘 기억하고 있겠지요? 이번에는 y = 2x + 1 의 그래프를 공부해 보도록 합시다.

We've learned that the graph of y = 2x is a straight line. It passes through the origin (0, 0) and its slope is 2. This time, we're going to study the graph of y = 2x + 1.

지난 번과 같이, x 값에 따라 정해지는, y 값들의 순서쌍의 일부를 표로 나타내 볼까요?

Let's make the table of ordered pairs of (x, y) that satisfy y = 2x + 1.

x	– 3	– 2	– 1	0	1	2	3
y	–6+1	–4+1	–2+1	0+1	2+1	4+1	6+1

위에서 구한 y = 2x + 1 의 순서쌍인 … (–3, –5), (–2, –3), … , (3, 7) … 들을 좌표평면에 나타내면, 아래 그림에서 보는 것과 같이 빨간색 직선 위의 점들로 표시됩니다.

If we plot (x, y) pairs such as … (–3, –5), (–2, –3), … , (3, 7) … on the coordinate plane, then these pairs will represent the points on a red straight line as shown below.

따라서, y = 2x + 1을 만족하는, 무수히 많은 (x, y) 순서쌍들을 모두 표시하면 아래 그림의 빨색 직선이 됩니다. 지난 번에 배웠던 y = 2x 의 그래프와 평행이지요?

Therefore, infinite solution pairs of y = 2x + 1 on the coordinate plane, they will represent a red straight line as shown below. Can you see that y = 2x + 1, a red line, is parallel to y = 2x, a blue line passing through the origin?

다시 살펴보면, 함수식 y = 2x + 1 의 y 값들은, y = 2x일 때의 y 값들 보다  1 만큼 크니까, 위 그림에서 파란색으로 표시된 y = 2 x 라는 직선 위의 점들 보다, 모두 1 칸씩 위에 찍히게 됩니다.

It means that we can draw y = 2x + 1 graph, by moving all points on y = 2x line up by one unit because y values in solution pairs of y = 2x + 1 are always one unit larger than those of y = 2x.

즉, 빨간색의 직선 y = 2x + 1 은 y = 2x 를 위로 1 만큼 평행이동시킨 결과가 됩니다.

In other words, we can sketch y = 2x + 1 line as a parallel translation by +1 along the y-axis.

이제, 공부한 것을 문자를 써서 정리해 볼까요?

Now, we can summarize what we have learned as follow :

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일차함수 y = ax + b 의 그래프는, 원점을 지나는 직선 y = ax 의 그래프를 평행이동시키면 됩니다.

We can draw y = ax + b line graph as a parallel translation of y = ax.

(1) b가 양수 (+) 일 때는,    위로 b 만큼 평행이동

moves up by ' b '         if  b > 0               

(2) b가 음수 (–) 일 때는, 아래로 b 만큼 평행이동

moves down by ' b '     if  b < 0               

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예를 들어, y = ax + 3 의 그래프는 원점을 지나는 직선 y = ax 를 위로 3 만큼 평행이동시키면 된다는 원리를 알아냈으니까, 쉽고 간단하게 그려낼 수 있는 방법에 대해서 조금 더 공부하도록 할까요?

Having learned that y = ax + 3 line is a parallel translation of y = ax + 3 by moving up 3 units, let's find out more convenient and easier way to draw this line.

직선 y = ax 를 그린 다음, 다시 위로 3 만큼 평행 이동한 y = ax + 3 의 그래프를 그리는 방법도 나쁘지는 않지만, 2 개의 직선을 그려 내야 한다는 점이 조금 불편할 수도 있겠지요?

Drawing the parallel line is not a bad idea, but we'll have to draw two lines altogether.

따라서, 더 좋은 방법은, 머리 속에서 평행 이동하는 과정을 이미지로 미리 떠올려 본 다음에,

If we're just able to imagine the process of parallel translation, a better way to draw is :

(1) 평행 이동이 완료된 후에, y 축과 만나는 점인 y 절편 (0, 3) 을 y 축 위에 찍습니다.

First of all, plot y-intercept (0, 3) on y-axis.

(2) 평행한 직선의 기울기는 똑같으니까, 앞에서 배운 [기울기 그리기 방법] 대로 새로운 점을 찾으면 되겠지요?

Two parallel lines have the same slope and therefore, find the other point using [rise over run] method.

(3) y 절편 (0, 3) 에서 출발해서, [(분모인) 오른쪽으로 몇 칸] 움직일 때, [(분자인) 위 또는 아래로 몇 칸] 이동하는 방법으로 새로운 점을 표시합니다.

Starting from y-intercept (0, 3), move along the path of [rise over run] to find new point.

(4) y 절편과 새로 찾아낸 두 점을 연결하면 직선의 그래프가 완성됩니다.

Connect the new point and the y-intercept (0, 3), then this straight line will be the unique solution.

두 점을 연결하는 직선은 오직 하나이니까, 여러 번 덧칠하지 말고 가급적 한 번에 그려 내면 됩니다. 쉽고 빠르게 정확한 직선을 그려내기 위해서는 부단한 연습을 해두기 바랍니다.

실제로 직선 y = \(\frac{2}{3}\)x + 2 를 같이 그려 보도록 할까요?

As an example, let's sketch the graph of y = \(\frac{2}{3}\)x + 2.

(1) 제일 먼저, y 절편인 점 (0, 2) 를 y 축 위에 찍습니다.

First of all, plot y-intercept (0, 2) on y-axis.

(2) y 절편을 찍은 점에서, 기울기를 \(\frac{2}{3} = \frac{{ + 2}}{{{\rm{ }} + 3{\rm{ }}}}\) 로 해석하여, [(분모인) 오른쪽으로 3 칸] 움직일 때, [(분자인) 위로 2 칸] 이동한 새로운 점 (3, 4) 를 찾아냅니다.

Interpret the slope \(\frac{2}{3} = \frac{{ + 2}}{{{\rm{ }} + 3{\rm{ }}}}\) as 'rise 2 over run 3'. Move 3 units to the right and 2 units up from the point (0, 2). Then you will find a new point (3, 4).

(3) y 절편 (0, 2) 와 아래 그림에서 초록색 점선으로 표시된 방법으로 찾아낸 새로운 점 (3, 4) 를 연결하는 직선을, 여러 번 덧칠하지 말고, 가급적 한 번에 그리면 됩니다.

Connect the straight line that passes through (0, 2) and (3, 4) as shown below :

어느 정도 익숙해진 다음에는, 추가로 배수가 되는 점들 즉, [오른쪽으로 6칸] 갈 때, [위로 4칸] 등을, 또는 반대로 음수 (–) 를 곱해서, [왼쪽으로 6칸] 갈 때, [아래로 4칸] 등을 활용하면, 보다 쉽고 정확하게 그려낼 수 있습니다.

If you feel comfortable in sketching, after hard practices, then you draw more accurately by using ± multiples of slope, such as \(\frac{{{\rm{ }} + 6{\rm{ }}}}{{ + 9}}\) or even \(\frac{{{\rm{ }} - 4{\rm{ }}}}{{ - 6}}\).

다시 한번 강조하지만, 분모를 자연수 (+) 로 하는 기약분수로 고치는 이유는, 왼쪽이 아니라 오른쪽을 표준으로 하기 위해서 입니다. 직선의 그래프에 완전히 익숙해 지기전까지는, 항상 [(분모인) 오른쪽으로 몇 칸] 움직일 때, [(분자인) 위 또는 아래로 몇 칸] 간다고 해석해서 그리기 바랍니다.

반드시 이렇게 해야만 하는 것은 아니지만, 기초가 부족한 학생은 처음부터 이 방법으로 숙달을 해 놓으면, 쉽고 빠르게 직선의 그래프를 그릴 수 있으니, 강력하게 추천합니다.

기울기와 y 절편에 양수 (+) 와 음수 (–) 의 여러가지 기약분수의 숫자를 대입해 보면서, 스스로 그래프를 그리는 연습을 충분하게 해두기 바랍니다.

I'd like to recommend you to practice hard, by replacing the slope or y-intercept with different fractions or negative values.