1. Laws of indices

지수법칙

Laws of indices

"지수기호를 쓰니까 큰 수의

표현과 계산이 너무 편리해요"

" exponents are very useful

to express and calculate large numbers "

지수법칙은 수나 식의 계산에서, 거듭제곱을 포함하는 곱셈과 나눗셈을 처리하는 데 기초가 되는 기본개념입니다.

중학수학의 표준교과에서는 지수가 자연수인 경우로 한정하고 있지만, 보다 다양한 응용력을 갖추기 위해서는 적어도 정수 범위까지는 알아 두기를 권하고 싶습니다.

만일, 심화과정이나 고등수학의 수준이라면 분수형태의 지수 즉, 유리수 범위까지는 정확히 이해해 두어야, 쉽게 응용력을 발휘할 수 있습니다.

이 단원은 고등수학에서 배우는 [지수와 로그], 만일 이과라면 [지수함수와 로그함수] 단원까지 연계되니까 기초적인 개념과 원리를 확실하게 다져 두기 바랍니다.

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예를 들어, 2 를 다섯 번 거듭해서 곱하는 경우에, 2×2×2×2×2 보다는 그 표시하는 방법을 좀 더 간단하게 하기 위해서 지수라는 기호를 사용합니다.

When we multiply number 2 five times, we would write repeatedly such as 2×2×2×2×2 and therefore, we use index in order to simplify the expression.

즉, 2×2×2×2×2 를 2⁵ 이라고 표현하고 ‘2 의 다섯 제곱’ 또는 ‘2 의 오승’ 이라고 읽습니다.

We use index notation 2×2×2×2×2 = 2⁵ and read as “2 raised to the fifth power“ or  “2 to the power of five“ and / or just simply “2 to the fifth“ or “2 to the five“.

이 때, 2 를 ‘밑’ 이라 하고, 위 첨자의 작은 숫자로 표시한 5 를 ‘지수’ 라고 합니다.

Here, we call that 2 is the ‘base’ and 5 (fifth) is an ‘index’ or ‘exponent’.

만일 문자를 써서 일반적인 표현으로 a^x 이라고 하면, a 를 x 번 거듭해서 곱하라는 표현이고, ‘a 의 x 제곱’ 또는 ‘a 의 x 승’ 이라고 읽습니다. 

In general letter expression, a^x means multiplying a x times and we read “ a raised to the power x “. Especially, we call “ squared “ for the power index of 2 (second) and “ cubed “ when the power index is 3 (third).

5² = 5 squared

5³ = 5 cubed

이 때, a 가 ‘밑’이 되는 것이고 x 는 ‘지수’가 됩니다. 이 밑과 지수라는 용어는 고등수학의 [로그] 단원에서도 그대로 사용되니, 잘 기억해 두기 바랍니다.

Here again, we call ‘a’ the ‘base’ and ‘x’ as an ‘index’, ‘exponent’ or a power. This term ‘base’ – the number we are multiplying – has the same mearning in [logarithm] which we’ll study later.

그러면, 숫자들의 쉬운 예들을 가지고 거듭제곱의 곱셈과 나눗셈에 관하여 알아 보도록 할까요?

Now, let’s learn more in detail about multiplications of repeated products with simple numbers

(1) 5² x 5³ = 5^{2 + 3} = 5⁵

5² = 5 x 5

5³ = 5 x 5 x 5

∴  5² x 5³ = (5 x 5) x (5 x 5 x 5) = 5⁵

(2) (5²)³ = 5^{2 x 3} = 5⁶

(5²)³ = (5²) x (5²) x (5²)

∴  (5²)³ = 5^{2 + 2 + 2} = 5^{2 x 3} = 5⁶

특히, 이 공식은 지수를 서로 교환하는 방법으로도 많이 쓰입니다.

Especially, this rule can be used to change the indices as a commutative operation.

(5²)³ = 5^{2 x 3} = 5⁶ = 5^{3 x 2} = (5³)²

(3) (5 x 7)³ = 5³ x 7³

(5 x 7)³ = (5 x 7) x (5 x 7) x (5 x 7)

       = (5 x 5 x 5) x (7 x 7 x 7)

= 5³ x 7³        .

이 공식은 마치 분배법칙이 적용되는 것으로 간주하고 기억해 두면 편리합니다.

This rule looks quite similar to the distributive operation.

이번에는, 숫자들의 쉬운 예들을 가지고 거듭제곱의 나눗셈에 관하여 알아 보도록 할까요?

This time, let’s investigate division operations of repeated products with simple numbers

 (4) \(\frac{{{2^5}}}{{{2^3}}}\) = 2^{5 - 3} = 2²

\(\frac{{{2^5}}}{{{2^3}}}\) = \(\frac{{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2}}{{2 \times 2 \times 2}}\)

∴   \(\frac{{{2^5}}}{{{2^3}}}\) = 2 x 2 = 2^{5 - 3} = 2²      .

(5) (\(\frac{2}{5}\))³ = \(\frac{{{2^3}}}{{{5^3}}}\)

(\(\frac{2}{5}\))³ = \(\frac{2}{5}\) x \(\frac{2}{5}\) x \(\frac{2}{5}\)

= \(\frac{{2 \times 2 \times 2}}{{5 \times 5 \times 5}}\)

= \(\frac{{{2^3}}}{{{2^3}}}\)

이 공식은 또한 분배법칙이 적용되는 것으로 간주하고 기억해 두면 편리합니다.

This rule also looks quite similar to the distributive operation.

참고로, 밑이 0 이 되는 경우는 논란이 있으므로 표준수학에서는 생각하지 않습니다.

For your reference, standard math does not consider the case that the base equals zero due to several arguments.

(1) 0⁰ 은 어쨌든지 0 의 거듭제곱이니까 0이 되어야 한다는 주장과 (2) 일반적으로 (실수)⁰ = 1 이라는 원칙을 지키자는 주장들이 있기 때문입니다.

(1) Some mathematicians argue that 0⁰ a multiplication of 0 anyway and therefore, should be 0 and (2) the others assert that it’s desirable to keep the general principle of (real number)⁰ = 1.

그러면, 위에서 공부한 것을 문자로 일반화시켜서 [지수법칙] 을 정리해 보도록 할까요?

Then, let’s summarize what we have learned in general algebraic terms, which will be [Laws of Indices].

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자연수 m, n 과 0 이 아닌 실수 a, b 에 대하여,

For any positive integer m, n and non-zero real numbers a and b,

(1)  a^m x aⁿ = a^m+n

(2)  (a^m)ⁿ = a^m x n = a^mn

(3)  (ab)^m  = a^mb^m

(4)  \(\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}}\) = a^{m – n}

(5)  \({\left( {\frac{a}{b}} \right)^m} = \frac{{{a^m}}}{{{b^m}}}\)

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공식도 정리했으니까, 확인 문제를 한 번 풀어 볼까요?

Now, let's try to solve a review exercise.

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3^n–1 = A 그리고 5^n–2 = B 라 정의할 때, 15ⁿ⁺¹ 을 A, B 및 숫자만으로 나타내어라.

When we define 3^n–1 = A and 5^n–2 = B, express 15ⁿ⁺¹ in terms of A, B and numbers only.

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(1) 우선, 구하려는 15ⁿ⁺¹ 의 밑인 15 가 합성수이니까, 소인수로 분해를 해 봐야 하겠지요?

The base of 15ⁿ⁺¹ is a composite number and therefore, we will have to factorize 15 first.

15ⁿ⁺¹ = (3 x 5)ⁿ⁺¹

(2) 위에서 배웠던 지수법칙을 적용하고, 문제에서 정의된 A, B 의 형태로 지수를 변형시키면,

After applying the Laws of indices, let’s change the indices to be conformed with the given definition A and B.

(3 x 5)ⁿ⁺¹ = 3ⁿ⁺¹ x 5ⁿ⁺¹

= 3² x (3^n-1) x 5³ x (5^n-2)

= 3² x A x 5³ x B

= 9 x 125 x AB

∴  15ⁿ⁺¹ = 1125AB

확인 문제를 하나 더 풀어 볼까요?

Let's try to solve another review exercise.

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아래 식의 값을 간단한 자연수로 나타내어라.

Simplify the following fraction into a simple positive integer.

\(\frac{{{4^{n - 2}} + {4^{n - 1}} + {4^n} + {4^{n + 1}}}}{{{2^{2n - 5}} + {2^{2n - 3}} + {2^{2n - 1}} + {2^{2n + 1}}}}\)

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(1) 분모와 분자의 밑을 공통되는 기준값인 2 의 거듭제곱으로 표현하는 것이 좋겠지요? 따라서, 분자를 밑을 2 로 하는 지수형태로 바꾸면,

If we select the common base 2 and match it in the numerator, then :

4^n–2 + 4^n–1 + 4ⁿ + 4ⁿ⁺¹

= (2²)^n–2 + (2²)^n–1 + (2²)ⁿ + (2²)ⁿ⁺¹

= 2^2n–4 + 2^2n–2 + 2²ⁿ + 2²ⁿ⁺²

(2) 이제, 분배법칙을 이용해서 분자를 공통인수로 묶으면,

Now, let’s take the common factor out front in numerator using distributive law.

2^2n–4 + 2^2n–2 + 2²ⁿ + 2²ⁿ⁺²

= 2^2n–4 (1 + 2² + 2⁴ + 2⁶)

(3) 같은 방법으로 분모도 공통인수로 묶으면,

Similarly, if we take the common factor out front in denominator :

2^2n–5 + 2^2n–3 + 2^2n–1+ 2²ⁿ⁺¹

= 2^2n–5 (1 + 2² + 2⁴ + 2⁶)

(4) 따라서, 공통인수로 분자, 분모를 간단하게 약분만 하면 주어진 식의 값은,

Just cancel off the common factors and simplify the fraction :

\(\frac{{{2^{2n - 4}}(1 + 2^2 + 2^4 + 2^6)}}{{{2^{2n - 5}}(1 + 2^2 + 2^4 + 2^6)}} \)

= \(\frac{{{2^{2n - 4}}}}{{{2^{2n - 5}}}} \)

= 2^{(2n–4) – (2n–5)}

= 2¹ = 2

노파심에 계산에 관하여 다시 한번 강조하지만, 약분할 공통인수라고 판단된다면  미리 계산하지 않는 것이 좋은 방법입니다.

Here again, I’d like to put an emphasis on easy computation method that “ do not compute the meaningless terms to be cancelled off “

(1 + 2² + 2⁴ + 2⁶)

= (1 + 4 + 16 + 64)

= 85 ???

(1) 숫자라 하더라도 문자로 간주하고, (2) 반드시 그대로 둔 상태에서 약분을 다 끝낸 후에야 마지막으로 꼭 필요한 계산만 간단하게 하기 바랍니다.

Please remember (1) pretend even numbers as letter coefficients consist of primes and (2) compute only after cancelling off all common factors.