6. absolute value linear inequalities (1)
절대값일차부등식
absolute value
inequalities
"그래프를 활용하니까 절대값부등식도
이해가 너무 쉽고 잘 외워져요"
" function graph makes it easier
to solve absolute value inequalities "
절대값이 포함된 부등식도, 절대값 방정식의 경우와 같이 절대값 안의 값이 양 (+) 인지 음 (–) 인지에 따라, 경우를 나누어 계산하는 것이 표준적인 방법이지만,
기본형의 경우에는, 그래프를 이용해서 원리를 이해한 다음에, 필요할 때 그 이미지만 머리속에 떠올린다면 마치 항상 외워두고 있는 것같이 아주 쉽게 문제를 해결할 수 있습니다.
특히, 이 방법은 이차 또는 고차부등식에서 그대로 활용할 수 있는 개념이므로, 해결과정과 원리을 확실하게 이해해 두어야 합니다.
이 단원 역시 매우 중요한 내용이므로, 반드시 기본개념과 응용력을 철저히 익혀두시기 바랍니다.
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equations
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절대값 부등식 | x | < 3 을 풀어 보도록 할까요?
Let's start with a worked example of | x |
< 3.
절대값 방정식과 함수에서 배운 것과 같이, 절대값 안의 값의 부호가 바뀌는 0 을 기준으로, 2 가지의 경우로 나누어서 푸는 것이 원칙입니다.
As we learned before, the standard way to
solve absolute value inequality is to divide into two intervals at zero where
the value within the bar becomes positive (+) or negative (–).
(A) x < 0 일 때
|
(B) x ≥ 0 일 때
|
– x < 3
|
x < 3
|
∴ (– 3 < x < 0) ∪ (0 ≤ x < 3)
∴ – 3 < x < 3
앞의 [절대값 일차방정식] 단원에서 배웠던, 논리 다이어그램으로 보면, (A ∩ P) ∪ (B ∩ Q) 의 개념입니다. 다시 복습이 필요한 분은 아래의 링크를 참고하세요.
We've already learned to use logic diagram (A ∩
P) ∪ (B ∩ Q) in [ linear absolute value equation ] before. If you want to
review again, please refer to the above link.
이번에는 똑같은 문제를 그래프를 이용해서 풀어 보도록 할까요?
This time, let's try
different approach to solve the same example by using function graph in a
coordinate plane.
(1) 부등식 | x | < 3 의 좌변과 우변을 각각의 함수로 간주해서 아래와 같이 좌표평면에 그래프로 나타냅니다.
Consider each side
of inequality as a function and sketch its graph on the coordinate plane as
shown below.
y = f (x) = | x |
vs.
y = g (x) = 3
(2) 위의 그래프를 보고, 파란색의 직선인 y = f (x) = | x | 가 빨간색의 직선인 y = g (x) = 3 보다 작다고 했으니까, 위에 있는 노란색의 영역을 찾아 냅니다.
The solution set
will be yellow shaded region where the blue v-shape line y = f (x)
= | x | is below the red horizontal line y = g (x) = 3 as shown
above.
(3) x 에 관한 부등식을 푸는 것이니까, 부등식의 영역도 x 값을 기준으로 좌표평면에 표시하도록 합니다. x = ± 3 의 양 끝 경계선은 포함되지 않는다는 점에 주의하세요.
We're solving x-term inequalities and therefore, the yellow
solution set region should be expressed only in terms of x. Be careful that boundary lines x = ± 3 will not be included.
∴ – 3 < x < 3
이번에는 다른 유형의 절대값 부등식 | x |
≥ 2 을 풀어 보도록 할까요?
This time, let's try a different type of worked
example | x | ≥ 2.
이번에도, 절대값 안의 값의 부호가 바뀌는 0 을 기준으로, 2 가지의 경우로 나누어서 푸는 것이 원칙입니다.
Again, we have to divide into two intervals at
zero where the value within the bar becomes positive (+) or negative (–).
(A) x < 0 일 때
|
(B) x ≥ 0 일 때
|
– x ≥ 2
|
x ≥ 2
|
논리 다이어그램으로 보면, (A ∩ P) ∪ (B ∩ Q) 의 개념이니까,
According to the logic diagram (A ∩ P) ∪ (B ∩ Q) that we learned earlier,
(x ≤ – 2) ∪ ( x ≥ 2)
∴ x ≤ – 2 or x ≥ 2
이번에도 똑같은 문제를 그래프를 이용해서 풀어 보도록 할까요?
This time again,
let's try to solve the same example by using function graph in a coordinate
plane.
(1) 부등식 | x | ≥ 2 의 좌변과 우변을 각각의 함수로 간주해서 아래와 같이 좌표평면에 그래프로 나타냅니다.
Consider each side
of inequality as a function and sketch its graph on the coordinate plane as
shown below.
y = f (x) = | x | vs. y
= g (x) = 2
(2) 위의 그래프를 보고, 파란색의 직선인 y = f (x) = | x | 가 빨간색의 직선인 y = g (x) = 2 보다 크거나 같다고 했으니까, 위에 있는 노란색의 영역을 찾아 냅니다.
The solution set
will be yellow shaded region where the blue v-shape line y = f (x)
= | x | is above or equal to the red horizontal line y = g (x) = 2 as shown
above.
(3) x 에 관한 부등식을 푸는 것이니까, 부등식의 영역도 x 값을 기준으로 좌표평면에 표시하도록 합니다. x = ± 2 의 양 끝 경계선은 포함됩니다.
We're solving x-term inequalities and therefore, the
yellow solution set region should be expressed only in terms of x. Boundary lines x = ± 2 will be included.
∴ x ≤ – 2 or x ≥ 2
참고로 위의 (1) 에서 좌변과 우변의 그래프를 결정할 때, 일반적으로는 부등식을 | x | – 2 ≥ 0
의 형태로 즉, 우변을 0 으로 바꾸어 줌으로써, 함수 그래프와 x 축만의 관계로 해결하는 것이 보다 편리합니다.
When we simplify the
given inequality, in general, it is better to make its right hand side equal
zero because it makes much easier to sketch only one function graph on the
coordinate plane as shown below.
y = f (x) = | x |
– 2 vs. y
= g (x) = 0
(1) 위의 그래프를 보고, 파란색의 직선인 y = f (x)
= | x | – 2 가 빨간색으로 표시된 x 축 보다 크거나 같다고 했으니까, 위 그림에 있는 노란색의 영역을 찾는다.
The solution set
will be yellow shaded region where the blue v-shape line y = f (x)
= | x | – 2 is above or equal to the red x axis as shown above.
(2) x 에 관한 부등식이니까, 찾은 노란색의 영역을 x 축에 대해서 x 기준으로만 읽으면, x =
2 와 x = – 2 인 경계선이 포함되니까,
We're solving x-term inequalities and therefore, the
yellow solution set region should be expressed only in terms of x. Boundary lines x = ± 2 will be included.
∴ x ≤ – 2 or x ≥ 2
이와 같이, 절대값 하나와 숫자만 있는 기본형의 경우에는, 그 결과를 정리하고 기억해 두면 아주 편리합니다. 문자로 일반화해서 정리해 둘까요?
It’s very convenient to memorize the following formulas for the simple form of inequality that has an absolute
bar on one side with numbers only on the other side.
a, b 가 양수 (+) 일 때, 절대값 일차부등식의 해는
solutions for simple forms of
absolute value linear inequalities are :
| x | < a ☞ – a < x < a
| x | ≤ a ☞ – a ≤ x ≤ a
| x | > b
☞ x < – b or x > b
| x | ≥ b ☞ x ≤ – b or x ≥ b
이제, 이 기본형 절대값 부등식의 해결원리를 그래프의 이미지와 함께 잘 기억해 두면, | x – 2 | ≥
3 과 같이 변형된 문제 유형도 쉽게 해결할 수 있습니다.
Now, you will be able to solve even reshaped absolute
value inequalities simply by recalling the standard simple solution sets with graph
image.
x – 2 = k 로 간단하게 치환하기만 하면, | k | ≥ 3 가 되니까, 위에서 정리했던 결과를 그대로 적용하면 됩니다.
If we simply substitute x – 5 = k
and apply the summarized solution sets, then :
k ≤ – 3 or k ≥ 3
∴ x – 2 ≤ – 3 or x –
2 ≥ 3
따라서, 답은 x ≤ – 1 or x ≥ 5
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