7. matrices such that AB+A+B=O

AB+A+B=O인 행렬

matrices such that AB+A+B=O

"심화문제에서는 약방에 감초같이 등장해요"

" a ubiquitous equation

 in advanced level exams "

방정식 AB + A + B = O 는 심화수준의 중고등수학 전 과정에서 약방의 감초같이 자주 등장하는 매우 중요한 조건식입니다.

[부정방정식], [근과 계수의 관계] 단원뿐만이 아니라, [분수식] 과 [분수함수] 등 모든 단원의 심화수준 연계유형으로 출제되고 있으니, 기본개념과 원리를 철저하게 이해하고, 응용력을 키워두기 바랍니다.

[행렬] 단원에서도 심화수준의 진위문제 유형에서, 출제의도를 숨기는 조건 제시방법으로 자주 나타납니다. 반드시 기억해 두기 바랍니다.

1등급의 상위권 학생이라 하더라도, 행렬의 진위문제는 실수범위 내에서의 연산과는 다르기 때문에 많은 유형들을 암기해 두어야만, 쉽고 빠르게 문제를 해결해 나갈 수 있습니다.

현재 고 1부터는 이 [행렬] 단원을 개정된 표준교과에 따라, 배우지 않습니다만, 심화유형의 수열이나 벡터에서는 행렬의 기본개념이 필요하다는 점도 알아 두기 바랍니다.

이 [행렬] 단원은 구 고등과정 교과표준에 따라 (2×2) 행렬을 기준으로 설명합니다.

♧   ♧   ♧   ♧   ♧   ♧

스마트폰에서 수학 수식을 보시려면, 왼쪽 버튼을 누른 후

[데스크톱 보기] 를 설정하세요.

You can read math equations,

by selecting [desktop view] on the mobile.

♧   ♧   ♧   ♧   ♧   ♧

정수 또는 자연수 조건의 [부정방정식] 에서 배운 내용을 복습해 볼까요?

Let’s review how to find (positive) integer solutions of [indeterminate equations].

예를 들어, x, y 가 정수 조건일 때 xy + 2x – 3y = 8 인 부정방정식은 어떻게 해결했었지요?

Do you recall the ways to find the integer solutions of, for instance, xy + 2x – 3y = 8 ?

(1) 우선, 조건 식의 좌변을 x 와 y 항의 곱의 형태로 바꾼 다음, 일차항의 계수를 맞추어 주어야 하겠지요?

First of all, you have to reshape the left hand side of the equation into the product of linear x and y terms.

xy + 2x – 3y

= (x – 3)(y + 2) + 6

(2) 조건 식을 [정수 × 정수 = 0 이 아닌 정수] 형태로 바꾸면,

If we change the given indeterminate equation into [integer x integer = non-zero integer] form,

(x – 3)(y + 2) + 6 = 8

(x – 3)(y + 2) = 2

(3) 이제, 아래와 같이 정수의 곱이 2 가 되는 곱셈표를 만들어, 해를 구하면 됩니다.

Now, we’d better prepare a product table as shown below.

x – 3	y + 2	x	y
2	1	5	– 1
1	2	4	0
– 2	– 1	1	– 3
– 1	– 2	– 2	– 4

(4) 따라서, 아래의 4 정수 쌍이 구하는 해가 됩니다.

Therefore, the following four pairs of integers are solution set.

(x, y) = (5, – 1)  or  (4, 0)

or  (1, – 3)  or  (– 2, – 4)

단위행렬인 E 가 실수에서 곱셈의 항등원인 1 의 역할을 한다는 것만 알고 있다면, 위에서 공부한 정수형태의 부정방정식 해법을 이차 정사각행렬에서도 그대로 적용할 수 있습니다.

This same reshape operation applies to the square matrix equations if you know that identity matrix E (= I₂) functions as a multiplicative identity 1.

그러면, 행렬의 조건식 AB + A + B = O 을 풀어 보도록 할까요?

Now, let’s reshape the matrix equation AB + A + B = O then.

(1) 우선, 조건 식의 좌변을 A 와 B 항의 곱의 형태로 바꾼 다음, 일차항의 계수를 맞추어 주어야 하겠지요?

First of all, you have to reshape the left hand side of the equation into the product of linear A and B terms.

AB + A + B

= AB + EA + EB

= (A + E)(B + E) – E

(2) 이제, [일차식 × 일차식 = 단위행렬의 배수] 형태로 바꾸면,

Now, let’s reshape the matrix equation AB + A + B = O then.

(A + E)(B + E) – E = O

∴  (A + E)(B + E) = E

(3) 두 개의 행렬이 서로 곱해서 단위행렬 E 가 된다면, 두 행렬은 서로 역행렬이 된다는 것을 알고 있지요?

I believe you already know that two matrices are inverse of one another if the product of them equals identity matrix E (= I₂).

(A + E)^-1 = (B + E)

(B + E)^-1 = (A + E)

∴  (A + E)(B + E) = (B + E)(A + E) = E

(4) 정사각행렬과 그 역행렬은 서로 순서를 바꾸어서 곱해도 항상 단위행렬이니까, 두 식을 전개해서 간단하게 정리해 보면,

The product of a square matrix and its inverse is commutative and therefore, expand and simplify two equations then.

(A + E)(B + E) = (B + E)(A + E)

AB + A + B + E = BA + B + A + E

∴  AB = BA

행렬의 진위 문제에서 AB + A + B = O 또는 AB – A – B = O 를 만족한다는 조건이 주어지면, 숨어 있는 실제 조건의 내용은 AB = BA 라는 것을 영리하게 알아채야 합니다.

수능형 모의고사 등에서 자주 등장하는 다소 야비한(?) 유형이긴 합니다만, 수험생의 입장에서도 몇 가지 유형을 간단하게 외워서 대응하면 됩니다. 공식으로 정리해 둘까요?

---

행렬의 진위 문제에서 AB + A + B = O 또는 AB – A – B = O 를 만족한다는 조건이 주어지면, 실제의 숨은 조건은,

If the conditional square matrix equations AB + A + B = O or AB – A – B = O were given in true/false question type, then the real (hidden) condition is :

AB = BA

---

예제 문제를 하나 풀어 볼까요?

Let’s try a worked example.

---

이차 정사각행렬 A, B 에 대하여, AB = A + B 일 때, 아래에 주어진 식의 참 또는 거짓을 판별하여라.

When AB = A + B holds true for 2 x 2 square matrices A and B, determine whether the following statement is true or false.

(AB)² = A²B²

---

(1) 우선 조건식을 [행렬 x 행렬 = O 이 아닌 행렬] 형태로 바꾸면,

First of all, if we reshape a given conditional equation into the product of linear A and B terms :

AB – A – B = O

AB – A – B + E – E = O

(A – E)(B – E) – E = O

∴   (A – E)(B – E) = E

(2) 두 행렬을 서로 곱해서 단위행렬 E 가 되므로, 두 행렬은 서로 역행렬의 관계이지요.

We already learned that two matrices are inverse of one another if the product of them equals identity matrix E (= I₂).

(A – E)^-1 = (B – E)

(B – E)^-1 = (A – E)

(3) 정사각행렬과 그 역행렬은 서로 순서를 바꾸어서 곱해도 항상 단위행렬이니까, 두 식을 전개한 후에, 서로 같다고 놓으면 AB = BA.

The product of a square matrix and its inverse is commutative and therefore, if we expand and compare two equations, then AB = BA.

(A – E)(B – E) = (B – E)(A – E) = E

∴   (A – E)(B – E) = (B – E)(A – E)

AB – A – B + E = BA – B – A + E

∴  AB = BA

(4) 따라서, AB = BA 를 주어진 식에 아래와 같이 적용하면 참이 된다는 것을 알 수 있습니다.

Therefore, if we apply AB = BA to the given equation, then we can conclude that the statement is true.

(AB)²

= AB x AB

= ABAB = AABB

= A²B²