1. square roots

  

제곱근

square roots

"제곱근은 이차방정식을 향한 관문이예요"

" square root is a gateway to

solving quadratic equations "

  

 √ 3  과 같은 제곱근은 이차방정식의 해를 구하는 데 가장 기초적인 개념입니다.

제곱의 계산에 대한 반대의 역 연산으로, 앞으로 고등과정에서 배우는 무리함수 및 역함수나 지수 및 로그와도 관련되므로, 처음부터 기초개념을 확실하게 배워 두기 바랍니다.

중3에서는 실수 범위 내에서의 제곱근을 공부하고, 고 1 과정에서는 음수의 제곱근인 허수 즉, 복소수 범위까지 확대됩니다.

특히, 문자로 표시되는 제곱근의 성질은, 심화 수준의 고등수학에서도 자주 등장하는 유형이므로, 기본적인 개념과 계산방법 등을 정확하게 이해해 두어야 합니다.

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예를 들어, 어떤 수 x 를 제곱하여 3 이 될 때, 그 x 를 3 의 제곱근이라고 합니다.

When a value multiplied by itself becomes 3, we call this value as a square root of 3.

제곱근은 루트기호를 사용해서 √ 3  이라고 표현하고 ‘제곱근 3’ 또는 ‘루트 3’ 이라고 읽습니다.

Square root of 3 is expressed in radical symbol √ 3  and is read as ‘root three’, ‘radical three’ or ‘the square root of 3’.

또, 음수(–) 를 제곱해도 양수(+) 가 되니까, 자신을 제곱해서 3 이 되는 수를 말하는 ‘3 의 제곱근’ 에는  – √ 3  도 있지요.

In addition, a negative (–) value multiplied by itself becomes positive (+) and therefore,  – √ 3  is also a square root of 3.

x² = 3

∴  x = √ 3   or  – √ 3 

9 의 제곱근은 x² = 9 의 해가 되는 수이니까, 양수 (+) 인 √ 9  (= 3) 뿐 만이 아니라, 음수 (–) 인  – √ 9  (= – 3) 의 두 수    즉,  ± 3 을 9 의 제곱근이라 합니다.

For example, square root of 9 is a value multiplies itself becomes 9 and therefore, square roots of 9 are  ± √ 9  = ± 3

⇦   제곱근 (square root)   ⇦

± 3                                                        9

⇨   제곱 (square)   ⇨

이 때 √ 9  와 같은 제곱수의 제곱근은, 실제 계산의 결과나 답으로 쓸 때에는 루트기호로는 나타내지 않는 것이 원칙입니다. 즉, √ 9  또는 √ 25  는 각각 루트기호를 쓰지 않고, 그냥 자연수 3 또는 5 라고 표현합니다.

In general, we prefer to simplify radical symbol √ 9  for square numbers. It’s better to express just in natural number form 3 or 5 instead of √ 9  or √ 25  respectively.

√ 9  = \(\sqrt {3^2} \) = 3

√ 25  = \(\sqrt {5^2} \) = 5

* 참고로, 영어권 국가에서는 특별히, 루트기호를 없앨 수가 없는 (완전 제곱수가 아닌) 수들의 제곱근 즉, √ 2  나 √ 3  와 같은 수들을 ‘surds’ 라고 부릅니다.

* For your reference, when we cannot remove radical symbol and simplify into a natural number, such as √ 2  or √ 3 , these are called ‘surds’. On the other hand, √ 9  or √ 25  are not surds.

제곱근을 계산할 때는 루트기호 없이도 자연수로 나타낼 수 있는 (완전) 제곱수들을 기억해 두는 것이 필요합니다.

It’s quite convenient to memorize (perfect) square numbers in order to find out natural number value without radical sign easily.

13² = 169

14² = 196

15² = 225

16² = 256

17² = 289

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이번에는, 제곱수가 자연수가 아니라, 분수나 특히 소수로 표현되는 경우를 살펴 보도록 할까요? 이런 유형의 문제를 보면, 당황하거나 실수하는 학생들이 꽤 많으니, 많은 연습을 통해 기초적인 계산실력을 단단하게 갖추어 두기 바랍니다.

This time, let's review the case of decimal form square numbers. Many students are frustrated and accordingly make mistakes when these types of questions were given in the exam.

√ 0.01  = \(\sqrt {{0.1}^2} \) = 0.1

√ 1.69  = \(\sqrt {{1.3}^2} \) = 1.3

√ 1.96  = \(\sqrt {{1.4}^2} \) = 1.4

√ 2.89  = \(\sqrt {{1.7}^2} \) = 1.7

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여기서, 번역상의 문제에서 기인하는, 우리나라 만의 독특한(?) 진위유형의 문제도 잘 알아 둘 필요가 있습니다.

제곱근 또는 거듭제곱근 진위문제에서 자주 등장하는, 예를 들어 (1) 제곱근 3 과 (2) 3 의 제곱근 과의 용어의 차이는 알아챌 수 있겠지요?

(1) ‘제곱근3’ 은 단순히 ‘루트 3’ 을 번역한 √ 3  을 말하는 것이고,

The expression ‘square root of 3’ simply means √ 3 .

(2) ‘3의 제곱근’ 은 자신을 제곱해서 3 이 되는 값들인 √ 3  과  – √ 3  의 두 개를 모두 말하는 것입니다.

On the other hand, ‘square roots of 3’ are two values, √ 3  and  – √ 3 .

그러면, 제곱수와 관련된 약간은 어려운 응용 문제를 풀어 보도록 합시다.

Let’s review an advanced level exercise related with square numbers then.

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√ 300 – N  의 값이 자연수가 되도록 하는 자연수 N 의 개수를 구하여라.

Find the number of positive integer N’s when the value of √ 300 – N  becomes positive integer.

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(1) 우선, 300 – N 이 (완전) 제곱수가 되어야, 루트기호 없이 자연수로 나타낼 수 있겠지요?

First of all, the value of 300 – N should be (perfect) square numbers in order to be simplified.

(2) 그런데, N 이 자연수이니까, 300 – N 의 값이 되는 범위를 살펴보면,

The value ranges of 300 – N for positive integer N are :

N ≥ 1

1 ≤ 300 – N ≤ 299

∴  1 ≤ √ 300 – N  ≤ √ 299 

(3) 여기서, 근사값을 계산해 보면, 300 – N 이 완전제곱수가 되는 경우는,

If we find approximate value, then the cases when the value of 300 – N becomes square numbers are :

√ 299  ≈ √ 300 

= √ 3  x 10 = 17.32⋯

∴  300 – N = 1², 2², ⋯ , 17²

(4) 따라서, 답은 17 개이고, 참고로 자연수 N 의 값들을 살펴 보면,

Therefore, correct answer is 17. Just for your reference, if we look at the real values of N’s,

N₁ = 300 – 1² = 299

N₂ = 300 – 2² = 296

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N₁₇ = 300 – 17² = 11

한 문제 더 풀어 보도록 할까요?

Let’s try one more worked example.

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√ 150 x N  의 값이 자연수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 N 의 값을 구하여라.

Find the least value of positive integer N when the value of √ 150 x N  becomes positive integer.

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(1) 우선, 150 x N 이 (완전) 제곱수가 되어야, 루트기호 없이 자연수로 나타낼 수 있겠지요?

First of all, the value of 150 x N should be (perfect) square numbers in order to be simplified.

(2) 여기서, 150 을 소인수로 분해해 보면,

Here, if we factorize 150 into prime numbers,

150 = 2 x 3 x 5²

(3) 따라서, 150 x N 을 (완전) 제곱수로 만들 수 있는 가장 작은 값 N 은,

Therefore, the minimum value of N that makes 150 x N be a square number is,

∴  N = 2 x 3 = 6

  

(4) 참고로, 150 x N 을 (완전) 제곱수로 만들 수 있는 N 값의 구조는,

For your reference, the structure of N = 2 x 3 x k² satisfies the given condition and accordingly, the minimum value of N is,

∴  N = 2 x 3 x 1² = 6