3. addition & subtraction of square roots

제곱근의 덧셈과 뺄셈

square root arithmetic

"계산력이 튼튼해야 뼈아픈 실수를 줄일 수 있어요"

" basic calculation skills are essential

to avoid stupid math mistakes "

제곱근 식의 계산은 루트기호 안의 제곱수를 찾아내는 암산능력을 필요로 하므로, 중학시절에 반드시 갖추어 두어야 할 기본적인 계산연습의 대표적인 단원입니다.

제곱수를 쉽고 빠르게 찾아 내기 위하여는 부분적인 소인수분해를 암산으로 해내는 능력을 키워야 하기 때문에 부단한 연습과 노력도 필요합니다.

최근 들어 쉬워진 수능과 내신의 환경에서는, 사소한 계산 실수 하나가 너무나 뼈아픈 결과를 초래하고 있는 것이 현실인 바, 중학시절부터 계산력 만은 반드시 확실하게 다져 놓기를 바랍니다.

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[ A ] 제곱근의 덧셈과 뺄셈

Addition & subtraction of square roots

√ 2  + √ 3  = √ 5  라고 생각하는 학생들이 의외로 많습니다만, 과연 그럴까요?

It’s not surprising that many students think √ 2  + √ 3  = √ 5   but will this be true?

직접 판단하기가 어렵다면 [ 양수(+) A, B 에 대하여 A = B 와 A² = B² 은 동치 즉, 필요충분조건 ] 이라는 것을 이용해서 확인해 보면 되겠지요?

If it’s not easy to check the values of square roots directly, then we can compare them by using the equivalence relation, [ A = B if and only if A² = B² for non-negative A and B ].

제곱근을 처음 배우는 학생들이 자주 저지르는 실수입니다만, 곱셈공식으로 전개해 보면 쉽게 확인할 수가 있습니다.

This is quite a common mistake that beginners make when they start to study square roots, which we can check easily using binomial expansion.

(√ 2  + √ 3 )²

= (√ 2  + √ 3 ) x (√ 2  + √ 3 )

= √ 2  x (√ 2  + √ 3 ) + √ 3  x (√ 2  + √ 3 )

= (√ 2 )² + √ 2  x √ 3  + √ 3  x √ 2  + (√ 3 )²

= 2 + √ 6  + √ 6  + 3

= 5 + 2√ 6   ≠  5

∴  √ 2  + √ 3  ≠ √ 5 

그러면, 제곱근 식의 덧셈과 뺄셈의 예를 보도록 할까요?

Let’s review an example of adding and subtracting square roots, then.

√ 18  – √ 12  + √ 2  + 4√ 3 

(1) 위의 예와 같은 제곱근 식의 덧셈과 뺄셈에서는, 루트기호 안의 수를 우선 간단하게 정리한 후에, 동일한 제곱근을 가진 동류항을 찾아내야 합니다.

First of all, you have to simplify the square roots in order to find ‘like’ radical terms such as √ 2  or √ 3 .

√ 18  = 3√ 2 

√ 12  = 2√ 3 

∴  √ 18  – √ 12  + √ 2  + 4√ 3 

= 3√ 2  – 2√ 3  + √ 2  + 4√ 3 

  

(2) 동류항끼리만 더하거나 뺄 수 있으므로, √ 2  또는 √ 3  과 같은 제곱근은 변수인 것으로, 또 루트기호 앞의 유리수들은 계수인 것과 같이 간주하여, 분배법칙으로 묶어서 계산합니다.

We can only add or subtract the terms that have same radical part such as √ 2  or √ 3 . Rational numbers should be considered as ‘coefficient’ in front of ‘variable’ (radical part).

∴   = (3 + 1) x √ 2  + (4 – 2) x √ 3 

= 4√ 2  + 2√ 3 

이번에는 곱셈과 덧셈 및 뺄셈이 섞여 있는 계산의 예를 보도록 할까요?

Next, let’s see an example of multiplying, adding and subtracting square roots.

4√ 2  x √ 27  + √ 18  x 6√ 3  – √ 20 

(1) 이번에도, 루트기호 안의 수를 우선 간단하게 정리한 후에, 루트기호 앞의 유리수들은 계수인 것과 같이 간주하여 유리수끼리, 루트기호를 가진 무리수는 무리수끼리 따로 묶어서 계산합니다.

After simplifying square roots first, we calculate rational number part (like ‘coefficient’) vs. radical part (like ‘variable’) separately.

(a)  4√ 2  x √ 27 

= 4√ 2  x 3√ 3 

= (4 x 3) x (√ 2  x √ 3 )

= 12√ 6 

(b)  √ 18  x 6√ 3 

= 3√ 2  x 6√ 3 

= (3 x 6) x (√ 2  x √ 3 )

= 18√ 6 

(2) 이제, 동일한 제곱근을 가진 동류항을 찾아내야 덧셈과 뺄셈만 간단하게 정리하면 됩니다.

Now, as we learned earlier, we simplify by adding and subtracting ‘like’ radical terms only such as √ 6 .

4√ 2  x √ 27  + √ 18  x 6√ 3  – √ 20 

= 12√ 6  + 18√ 6  – 2√ 5 

∴   = 30√ 6  – 2√ 5 

마지막으로 나눗셈과 덧셈 및 뺄셈이 섞여 있는 제곱근 식의 계산 문제도 풀어 보도록 할까요?

Finally, let’s review the following example mixed with dividing, adding and subtracting square roots.

4√ 54  ÷ 6√ 3  + √ 32  – 6√ 10  ÷ √ 20 

(1) 나눗셈에서도, 루트기호 안의 수를 우선 간단하게 정리한 후에, 루트기호 앞의 유리수들은 계수인 것과 같이 간주하여 유리수끼리, 루트기호를 가진 무리수는 무리수끼리 따로 묶어서 계산합니다.

Again, after simplifying square roots first, we calculate rational number part (like ‘coefficient’) vs. radical part (like ‘variable’) separately.

(a)  4√ 54  ÷ 6√ 3 

= 12√ 6  ÷ 6√ 3 

= (12 ÷ 6) x (√ 6  ÷ √ 3 )

= 2√ 2 

(b)  6√ 10  ÷ √ 20 

= 6√ 10  ÷ 2√ 5 

= (6 ÷ 2) x (√ 10  ÷ √ 5 )

= 3√ 2 

(2) 이제, 동일한 제곱근을 가진 동류항을 찾아내야 덧셈과 뺄셈만 간단하게 정리하면 됩니다.

Now, we simplify by adding and subtracting ‘like’ radical terms only such as √ 2 .

4√ 54  ÷ 6√ 3  + √ 32  – 6√ 10  ÷ √ 20 

= 2√ 2  + 4√ 2  – 3√ 2 

∴   = 3√ 2 

자 그럼, 배운 것을 공식으로 정리해 볼까요?

Let’s summarize what we have learned in general expressions.

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양(+) 의 실수 A, B 와 유리수 m, n 에 대하여,

For any positive real numbers A & B and rational numbers m & n,

(1) m√ A  + m√ A  = (m + n)√ A 

(2) m√ A  x n√ B  = mn√ AB 

(3) \(\frac{{{\rm{m}}\sqrt {\rm{A}} }}{{{\rm{n}}\sqrt {\rm{B}} }} = \left( {\frac{{\rm{m}}}{{\rm{n}}}} \right) \times \left( {\frac{{\sqrt {\rm{A}} }}{{\sqrt {\rm{B}} }}} \right) = \frac{{\rm{m}}}{{\rm{n}}} \times \sqrt {\frac{{\rm{A}}}{{\rm{B}}}} \)

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[ B ] 근호에 양(+) 의 수를 넣고 빼기

Taking out & inserting into the radical

앞의 제곱근의 곱셈에서 이미 공부했지만, 근호 안의 제곱수는 쉽게 루트기호 밖으로 빼낼 수 있습니다.

As we studied earlier, we can take out square numbers front to simplify a square root.

√ 18 

= √ 2 x 3 x 3 

= √ 2  x √ 3  x √ 3 

= 3√ 2 

∴  \(\sqrt {2 \times {3^2}} \) = 3√ 2 

이 방법은 분수식에서도 동일하게 적용됩니다.

We can apply the same method in calculating fractions.

\(\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt {18} }}\)

= \(\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt {2 \times {3^2}} }}\)

= \(\frac{{\sqrt 2 }}{{3\sqrt 2 }}\)

= \(\frac{1}{3}\)

이번에는 반대로, 근호 바깥에 있는 양(+) 의 수를 루트기호 안에 넣는 것을 연습해 볼까요?

Conversely, let’s practice to insert positive(+) numbers into the radical.

2√ 3 

= √ 2  x √ 2  x √ 3 

= √ 2 x 2 x 3 

= \(\sqrt {{2^2} \times 3} \)

∴  2√ 3  = \(\sqrt {{2^2} \times 3} \)

마찬가지로 이 방법도 나눗셈에서 동일하게 적용됩니다.

Similarly, we can calculate fractions in the same way.

\(\frac{{\sqrt 6 }}{3}\)

= \(\frac{{\sqrt 6 }}{{\sqrt {{3^2}} }}\)

= \(\sqrt {\frac{6}{{{3^2}}}}\)

= \(\sqrt {\frac{2}{3}} \)

* 참고로, 중학수학 범위 내에서는 양(+) 인 수의 제곱근만을 다루지만, 심화문제나 고등수학의 범위에서는 음(–) 의 실수에 대한 제곱근도 생각해야 합니다. 문자로 주어지는 심화유형에 대한 자세한 설명은 뒤에서 다룰 예정입니다.

* For your reference, we will study the square roots of negative (–) numbers, later in higher level math courses.

(1) \(\sqrt {3 \times {{( - 2)}^2}} \)

= √ 3  x \(\sqrt {{{( - 2)}^2}} \)

= √ 3  x | – 2 |

= 2√ 3 

∴   \(\sqrt {{{\rm{A}}^{\rm{2}}} \times {\rm{B}}} \) = | A | x √ B 

(2) (– 2) x √ 3 

= – \(\sqrt {{{( - 2)}^2}} \) x √ 3 

= – \(\sqrt {{{( - 2)}^2} \times {\rm{3}}} \)

∴   A√ B  = – \(\sqrt {{{\rm{A}}^{\rm{2}}} \times {\rm{B}}} \) ( when A < 0 )