4. property of square roots
제곱근의 성질
square root rules
"제곱근은 이차방정식을 향한 관문이예요"
" square root is a gateway to
solving quadratic equations "
원칙적으로
중 3 과정에서는 실수 범위
내에서의 제곱근 즉, 루트
기호 안의 부호가
음 (–) 이 아닌
경우만을 배우고, 고
1 과정부터
비로소 음수 (–) 의 제곱근인
허수 즉, 복소수
범위까지 공부하는 것이
표준 교과입니다만,
중
3 과정이라 하더라도, 문자로
표시되는 일부의 심화수준의
문제에서는 실질적으로는 음수(–) 제곱근의 경우도 포함되는
경우가 있습니다.
상위권 학생이나 이과
지망생들의 경우에는, 중
3 과 고 1 과정의 중복
및 심화되는
내용에 대해서는 어느
정도의 선행학습도 불가피한
것이 현실이므로,
기초적인
수준에서 음수 (–) 의
제곱근인 허수 또는
복소수의 개념도 추가로
설명할 예정이니 기본적인
개념과 계산방법 등을
정확하게 이해해 두기 바랍니다.
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앞의 제곱근의 곱셈에서 이미 공부한 대로, (√ 3 )2 = 3 이 됩니다. 문자로 일반화 시켜서 표현한다면, (√ P )2 = P 가 되지요.
As we learned earlier, (√ 3 )2 = 3 and we can express this property in
general terms, (√ P )2 = P.
(√ 3 )2 = (√ 3 ) x (√ 3 ) = 3
(–√ 3 )2 = (–√ 3 ) x (–√ 3 ) = 3
* 참고로, 고등수학 과정인 허수 (복소수) 에 해당하지만, 위의 이 성질은 P 가 음수 (–) 인 경우에도 항상 성립합니다.
* For your reference, please be sure that this property is always
true even when P is negative (–), which will be explained in high level [
imaginary (complex) numbers ] .
(√ – 3 )2
=
(√ – 3 ) x (√ – 3 )
=
(√ 3 x √ – 1 ) x (√ 3 x √ – 1 )
= (√ 3 x i ) x (√ 3 x i )
= 3 x i 2
= – 3
∴ (√ P )2 = P for any real number P
e.g.
(√ – k )2 = – k
그렇다면,
모양이 조금 다른 \(\sqrt {\rm{P^2}} \) 는 어떻게 계산할
수 있을까요?
On the contrary, how
can we find the value of \(\sqrt {\rm{P^2}} \) then?
이 질문은 조금
어려운 문제이니까, (1) P 가
양수 (+) 일 때와
(2) 음수 (–) 일 때로
나누어 살펴보기로 합니다.
This question is
somewhat tricky and therefore, we have to divide into two cases when (1) P is
positive (+) and (2) P is negative (–).
(1)
P 가 양수
(+) 일 때
When P is positive (+)
\(\sqrt {{5^2}} \) = √ 25 = 5
∴ \(\sqrt {\rm{P^2}} \) = P
(2)
P 가 음수
(–) 일 때
When P is negative (–)
\(\sqrt {{{( - 5)}^2}} \)
= –
( – 5)
∴ \(\sqrt {\rm{P^2}} \) = – P
(3)
앞에서 배웠던 절대값의
성질과 똑같지요? 따라서, 표준수학에서는 아예 절대값으로
정의하고 있으니, 반드시
외워두기 바랍니다.
The results are the
same as an absolute value that we have learned earlier. In fact, this is
defined as identical to absolute value in standard math.
\(\sqrt {\rm{P^2}}
\) = | P |
↱ = P if
P ≥
0
↳ = – P if P < 0
그러면,
공부한 내용을 문자로
일반화시켜서, 공식으로 정리해
두도록 할까요?
Let’s summarize what we studied in general expressions as
follows :
임의의 실수 P 에 대하여,
For any real number
P,
(1) (√ P )2 = P
(2) \(\sqrt {\rm{P^2}} \) = | P |
따라서, 양(+) 의 실수 P 에 대하여는 아래와
같은 규칙이 성립한다는 것을
알 수 있습니다.
Accordingly, we can derive
the following additional rules for any positive (+) real number P.
\(\sqrt
{{{\rm{A}}^2} \times {\rm{B}}} \)
= \(\sqrt
{{{\rm{A}}^2}} \) x
(+) .
= | A | x √ B
= A√ B
∴ \(\sqrt
{{{\rm{A}}^2} \times {\rm{B}}} \) = A√ B
또는 (or)
A√ B = \(\sqrt
{{{\rm{A}}^2} \times {\rm{B}}} \)
그러면, 관련된 연습문제들을 풀어 보도록 할까요?
Let’s review some related
exercises then.
아래의 식을
간단히 하여라.
Simplify the followings.
√ 108 ÷ √ 18 x √ 200 ÷ √ 75
우선,
주어진 식을 A√ B 의
형태로
바꾸는 것이 좋겠지요?
First of all, we’d
better change the given terms into A√ B form.
√ 108 ÷ √ 18 x √ 200 ÷ √ 75
= \(\sqrt {3 \times {6^2}} \) ÷ \(\sqrt {2 \times {3^2}} \) x \(\sqrt {2 \times {{10}^2}} \) ÷ \(\sqrt {3 \times {5^2}} \)
= 6√ 3 ÷ 3√ 2 x
10√ 2 ÷ 5
= (6 ÷ 3 x 10 ÷ 5) x (√ 3 ÷ √ 2 x √ 2 ÷ √ 3 )
= 4
아래의 세 무리수
중에서 가장 작은
것을 찾아내라.
Choose the smallest among the
following irrationals.
4√ 2 ,
3√ 3 , 2
(1)
우선, 주어진 수들을
같은 기준으로 비교하려면
\(\sqrt {{{\rm{A}}^2} \times {\rm{B}}} \) 의 형태로 바꾸어야 하겠지요?
First of all, we’d
better change the given terms into \(\sqrt {{{\rm{A}}^2} \times {\rm{B}}} \) form in order to
compare the values by the same standard.
4√ 2 = \(\sqrt {2 \times {4^2}} \) = √ 32
3√ 3 = \(\sqrt {3 \times {3^2}} \) =
2√ 7 = \(\sqrt {7 \times {2^2}} \) =
(2)
이제, 앞에서 배웠던 [ 양수(+) A, B 에 대하여 A = B 와 A2 = B2
은 동치 즉, 필요충분조건 ] 이라는 것을 이용하면 되겠지요?
Now we can compare
them by using equivalence relation, [ A = B if and only if A2 = B2
for non-negative A and B ].
27 < 28 <
32
∴ 3√ 3 < 2√ 7 < 4√ 2
그러면, 이번에는 문자로 표현된, 조금 어려운 연습문제들을 풀어 보도록 할까요?
In addition, let’s
review some exercises expressed in general algebraic letter forms.
a < 0 이고, b <
a 일 때, 아래의 식을 간단히
하여라.
Simplify the followings when a < 0 and b < a.
\(\sqrt {9{{\rm{a}}^{\rm{2}}}} \) + \(\sqrt
{4{{\rm{(b - a)}}^{\rm{2}}}} \) –
(1)
우선, \(\sqrt
{\rm{P^2}} \) 의 형태로 바꾸어야 하겠지요?
First of all, we’d
better change the given terms into \(\sqrt {\rm{P^2}} \) form.
\(\sqrt {9{{\rm{a}}^{\rm{2}}}} \) + \(\sqrt {4{{\rm{(b - a)}}^{\rm{2}}}} \) –
= \(\sqrt {{{(3{\rm{a}})}^2}} \) + \(\sqrt {{{\{ 2({\rm{b}} - {\rm{a}})\} }^2}} \) –
(2) 이제, \(\sqrt {\rm{P^2}} \) = | P | 를
이용하면 됩니다.
Next, if we use the
property \(\sqrt {\rm{P^2}} \) = | P |, then :
. (–) (–) (+)
= | 3a |
+ | 2(b – a) | – | – a |
(3)
마지막으로, 절대값 안의 부호에
따라 계산하면,
Applying the argument
sign in the absolute bar, we get an answer.
= – 3a –
2(b –
a) – ( – a )
= – 3a –
2b +
2a + a
= – 2b
마지막으로 한 문제 더 풀어 보도록 할까요?
Finally, let’s try one more exercise.
0 < a < 1일 때, 아래의 식을 간단히
하여라.
Simplify the followings when 0 < a < 1.
\(\sqrt
{{{\left( {{\rm{a}} + \frac{1}{{\rm{a}}}} \right)}^2}} \) + \({\left( {\sqrt {
- {\rm{a}}} } \right)^2}\) – \(\sqrt {{{\left( {{\rm{a}} - \frac{1}{{\rm{a}}}}
\right)}^2}} \)
(1)
우선, \(\sqrt
{\rm{P^2}} \) = | P | 와 (\(\sqrt {\rm{P}} \))2 =
P 를 이용하면
되겠지요?
First, if we use the
properties \(\sqrt {\rm{P^2}} \) = | P | and (\(\sqrt {\rm{P}} \))2 = P, then :
\(\sqrt
{{{\left( {{\rm{a}} + \frac{1}{{\rm{a}}}} \right)}^2}} \) + \({\left( {\sqrt {
- {\rm{a}}} } \right)^2}\) – \(\sqrt {{{\left( {{\rm{a}} - \frac{1}{{\rm{a}}}}
\right)}^2}} \)
. (+) (–)
= | a + \(\frac{1}{{\rm{a}}}\) | + ( –
a) – | a – \(\frac{1}{{\rm{a}}}\) |
(2)
절대값
안의 부호에 따라, 간단히 하면,
Applying the argument
sign in the absolute bar, we get the following answer.
= a +
\(\frac{1}{{\rm{a}}}\) –
a – ( – a + \(\frac{1}{{\rm{a}}}\))
= a +
\(\frac{1}{{\rm{a}}}\) –
a + a – \(\frac{1}{{\rm{a}}}\)
= a
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