1. sequences

수열

sequences

"수열은 규칙성을 찾아내는

게임이예요"

" it's a game

to find number patterns "

수열은 순서대로 나열된 숫자들의 공통된 규칙을 찾아내는 마치 게임과도 같은 재미있는 단원입니다.

영리한 학생들은 초등산수 시절부터 나열된 항 사이의 계차로 쉽게 그 규칙성을 찾아내기도 하지만, 부분분수나 군수열 등 조금 더 어려운 유형들을 해결하려면 기본적인 유형들에 대한 어느 정도의 해법 암기도 필요합니다.

이번에는 수열의 정의와 사용되는 기호 등의 가장 기초가 되는 내용들을 설명하려고 합니다. 첫 단계부터 기초 개념과 원리을 확실하게 이해해 두기 바랍니다.

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예를 들어 2, 4, 6, 8, 10, ... 과 같이 일정한 규칙에 따라, 순서대로 수들이 나열된 것을 수열이라고 하고, 일반적으로 기호 { a_n } 이라고 나타냅니다.

A sequence is an ordered list of numbers such as 2, 4, 6, 8, 10, ... and is denoted by { a_n }.

이 때, 아래 첨자는 몇 번째에 해당하는 가를 표현하므로, 당연히 자연수의 순서대로 표시합니다.

The subscripted number or letter means counter index and accordingly, it should be countable number, i.e., positive integer.

즉, a₁ 은 첫 번째 숫자로 '첫 째항', a₂ 는 두 번째 숫자로 '제 2 항' 등으로 ... , a_n 의 n 은 일반적인 n 번째의 숫자로서 일반항인 '제 n 항' 을 나타내는 것입니다.

a₁ means an initial term, a₂ is the 2^nd term, ... and a_n means its n-th general term.

위의 예를 든 수열은 짝수들이니까, 일반항 { a_n } = { 2n } 이라고 구체적으로 표현할 수 있습니다.

The sequence in the above example is a list of even numbers and therefore, its n-th general term is a_n = 2n.

예를 몇 가지 더 들어 보도록 할까요?

Let me show you some other examples.

(1) { b_n } = { 3ⁿ } 이라고 주어졌다면, 일반항 n 의 자리에 자연수를 차례대로 대입한 후에, 순서대로 나열하면 됩니다.

If b_n is given by 3ⁿ, then we replace n-th term by positive integers one by one and list them in ascending order as follows :

b₁ = 3,  b₂ = 3²,  b₃ = 3³, ...

∴  { b_n } = 3,  3²,  3³,  3⁴, ...

or

{ b_n } = 3,  9,  27,  81,  243, ...

(2) { c_n } = { n² } 이라고 주어졌다면, 일반항 n 의 자리에 자연수를 차례대로 대입해서 나열하면 되니까,

If c_n is given by n², then we replace n-th term by positive integers one by one and list them in ascending order as follows :

c₁ = 1,  c₂ = 4,  c₃ = 9, ...

∴  { c_n } = 1,  4,  9,  16,  25, ...

or

{ c_n } = 1,  2²,  3²,  4², ...

또, 수열이 a₁, a₂, a₃, ... , a₁₀ 과 같이 유한개의 항을 갖고 있으면 '유한수열' 이라 하고, a₁, a₂, ... , a₁₀, ... 과 같이 무한개의 항을 갖고 있으면 '무한수열' 이라고 합니다.

If a sequence continues without stopping such as { a₁, a₂, a₃, ... , a₁₀ ... }, then it is called 'infinite sequence' whereas a 'finite sequence' such as { a₁, a₂, a₃, ... , a₁₀ } has its last term, a₁₀.

이번에는 처음 5 개 항이 나열된 수열을 보고, 꺼꾸로 일반항을 찾아내는 연습을 해 보도록 할까요?

This time, on the contrary, let's find a rule for the n-th general term as an exercise when the first 5 terms are given.

처음에는 어렵겠지만, 항과 항 사이의 차이 즉 '계차' 를 알아 보면, 조금 더 쉽게 규칙을 알아낼 수 있습니다.

This is not easy for beginners but investigating the difference between the consecutive terms makes it much easier to find the patterns of sequences.

(1) { a_n } = 1, 4, 7, 10, 13, ...

1,    4,    7,   10,   13, ...

∨    ∨    ∨    ∨  .

+ 3   + 3   + 3   + 3   .

a₁ = 1

a₂ = 1 + 3

a₃ = 1 + 3 + 3

a₄ = 1 + 3 + 3 + 3

∴  a_n = 1 + 3 x (n – 1)

=   3n – 2

(2) { a_n } = 1, 2, 4, 8, 16, ...

1,    2,    4,    8,   16, ...

             .

x 2  x 2    x 2   x 2  .

a₁ = 1

a₂ = 1 x 2

a₃ = 1 x 2 x 2

a₄ = 1 x 2 x 2 x 2

∴  a_n = 1 x 2^{(n – 1)}

  = 2^{n – 1}

이제, 맨 처음에 예를 들었던 { a_n } = { 2n } 의 특징을 조금 더 구체적으로 살펴 보도록 할까요?

Now, let's try to investigate, more in detail, the sequence { a_n } = { 2n } in the first example

어떤 수열의 특징과 규칙성을 알아 내는, 가장 손쉬운 방법의 하나는 항 사이의 차이 즉 '계차' 를 알아 보는 것입니다.

One of the easier ways to find out the patterns of the sequences is to investigate the first differences between the terms.

2,   4,   6,   8,   10,  12, ... .

                .

+ 2  + 2  + 2  + 2  + 2    .

위에서 보는 것과 같이, 항과 항 사이의 차이인 계차가 + 2 로 항상 일정하지요?

The first differences are all equal to + 2 as shown above.

차이가 항상 같은, 이런 특징을 갖는 수열을 '등차수열' 이라고 부르고, 이 때의 항상 같은 차이를 특별히 '공차' 라고 합니다.

We call this type of sequences as 'arithmetic sequences' and the constant difference is called 'common difference'.

이번에는 { b_n } = { 3ⁿ } 의 특징을 계차를 통해서 살펴 보도록 할까요?

This time, let's find the patterns in { b_n } = { 3ⁿ } by investigating the first differences.

3,   9,   27,   81,  243,  729, ... .

                     .

x 3  x 3   x 3    x 3   x 3      .

위에서 보는 것과 같이, 항과 항 사이의 차이인 계차가 x 3 으로 항상 일정하지요?

The ratio of any term to the previous term is always 3 as shown above.

차이가 항상 같은 비례값을 갖는, 이런 특징을 갖는 수열을 '등비수열' 이라고 하고, 이 때의 항상 같은 비례값을 '공비' 라고 부릅니다.

This type of sequences is called 'geometric sequences' and this constant ratio is called the 'common ratio'.

그러면, 등차수열, 등비수열과 조화수열 등에 관한 보다 구체적인 내용에 대하여는 다음에 공부하기로 합니다.

We’re going to study, more in depth, these arithmetic, geometric, harmonic and other sequences later.